Málokterý geometrický tvar je tak rozmanitý jako mnohoúhelník. Patří mezi ně známý trojúhelník, čtverec a pětiúhelník, ale to je jen začátek.
V geometrii je mnohoúhelník jakýkoli dvourozměrný tvar, který splňuje následující podmínky:
- Skládá se ze tří nebo více rovných čar
- Je uzavřený bez otvorů nebo zlomů ve tvaru
- Má páry čar, které se spojují v rozích nebo vrcholech, kde tvoří úhly
- Má stejný počet stran a vnitřních úhlů
Dvourozměrný znamená plochý jako kus papíru. Kostky nejsou mnohoúhelníky, protože jsou trojrozměrné. Kruhy nejsou mnohoúhelníky, protože neobsahují rovné čáry.
Zvláštní druh mnohoúhelníku může mít úhly, které nejsou všechny stejné. V tomto případě se nazývá irregular polygon.
O mnohoúhelnících
Název polygon pochází ze dvou řeckých slov:
- Poly, což znamená many
- Gon, což znamená úhel
Tvary, které jsou mnohoúhelníky
- Trigon (trojúhelník): 3 strany
- Tetragon (čtverec): 4 strany
- Pentagony: 5 stran
- Šestiúhelník: 6 stran
- Sedmiúhelník: 7 stran
- Osmiúhelníky: 8 stran
- Neúhelník: 9 stran
- Desetúhelník: 10 stran
- Undesetiúhelník: 11 stran
- Dvanáctiúhelníky: 12 stran
Jak se polygony jmenují
Názvy jednotlivých polygonů jsou odvozeny od počtu stran nebo rohů, které tvar má. Mnohoúhelníky mají stejný počet stran a rohů.
Obvyklý název pro většinu mnohoúhelníků je řecká předpona pro „strany“připojená k řeckému slovu pro roh (gon).
Příklady pro pěti- a šestistranné pravidelné mnohoúhelníky jsou:
- Penta (řecky znamená pět) + gon= pentagon
- Hexa (řecky znamená šest) + gon= hexagon
Toto schéma pojmenování má výjimky. Nejpozoruhodněji se slovy běžněji používanými pro některé polygony:
- Trojúhelník: Používá řeckou předponu Tri, ale místo řeckého gon, latinku angle Používá se. Trigon je správný geometrický název, ale používá se jen zřídka.
- Quadrilateral: Odvozeno z latinské předpony quadri, znamená čtyři, připojené ke slovu lateral, což je další latinské slovo s významem side.
- Čtverec: Někdy je čtyřstranný mnohoúhelník (čtverec) označován jako čtyřúhelník nebo čtyřúhelník.
N-Gons
Mnohoúhelníky s více než 10 stranami se vyskytují zřídka, ale řídí se stejnou řeckou konvencí pojmenování. 100stranný mnohoúhelník je tedy označován jako hectogon.
V matematice jsou však pětiúhelníky někdy příhodněji označovány jako n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodekagon
- 20-gon: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
V matematice se n-úhelníky a jejich řecky pojmenované protějšky používají zaměnitelně.
Limit mnohoúhelníku
Teoreticky neexistuje žádné omezení počtu stran, které může mít mnohoúhelník.
Jak se velikost vnitřních úhlů mnohoúhelníku zvětšuje a délka jeho stran se zkracuje, mnohoúhelník se přibližuje ke kružnici, ale nikdy se tam úplně nedostane.
Klasifikace mnohoúhelníků
Běžné vs. nepravidelné mnohoúhelníky
Polygony jsou klasifikovány podle toho, zda jsou všechny úhly nebo strany stejné.
- Pravidelný mnohoúhelník: Všechny úhly mají stejnou velikost a všechny strany mají stejnou délku.
- Nepravidelný mnohoúhelník: Nemá stejně velké úhly ani strany stejné délky.
Konvexní vs. konkávní mnohoúhelníky
Druhý způsob klasifikace polygonů je podle velikosti jejich vnitřních úhlů.
- Konvexní polygony: Nemají žádné vnitřní úhly větší než 180°.
- Konkávní polygony: Mají alespoň jeden vnitřní úhel větší než 180°.
Jednoduché vs. složité mnohoúhelníky
Dalším způsobem klasifikace polygonů je způsob, jakým se čáry tvořící polygon protínají.
- Jednoduché polygony: Čáry se spojují nebo protínají pouze jednou - ve vrcholech.
- Složité polygony: Čáry se protínají více než jednou.
Názvy složitých mnohoúhelníků se někdy liší od názvů jednoduchých mnohoúhelníků se stejným počtem stran.
Například:
- Pravidelný tvar hexagon je šestiúhelník, jednoduchý mnohoúhelník.
- Hvězdička hexagram je šestistranný složitý mnohoúhelník vytvořený překrýváním dvou rovnostranných trojúhelníků.
Pravidlo součtu vnitřních úhlů
Zpravidla pokaždé, když je k mnohoúhelníku přidána strana, například:
- Od trojúhelníku ke čtyřúhelníku (tři až čtyři strany)
- Od pětiúhelníku k šestiúhelníku (pět až šest stran)
dalších 180° je přidáno k součtu vnitřních úhlů.
Toto pravidlo lze napsat jako vzorec:
(n - 2) × 180°
kde n se rovná počtu stran mnohoúhelníku.
Součet vnitřních úhlů pro šestiúhelník lze tedy najít pomocí vzorce:
(6–2) × 180°=720°
Kolik trojúhelníků v tomto mnohoúhelníku?
Výše uvedený vzorec vnitřního úhlu je odvozen rozdělením mnohoúhelníku na trojúhelníky a toto číslo lze zjistit výpočtem:
n – 2
V tomto vzorci se n rovná počtu stran mnohoúhelníku.
Šestiúhelník (šest stran) lze rozdělit na čtyři trojúhelníky (6 - 2) a dvanáctiúhelník na 10 trojúhelníků (12 - 2).
Velikost úhlu pro běžné mnohoúhelníky
U běžných mnohoúhelníků, ve kterých jsou všechny úhly stejně velké a strany stejně dlouhé, lze velikost každého úhlu v mnohoúhelníku vypočítat vydělením celkové velikosti úhlů (ve stupních) celkovým počtem stran.
U běžného šestiúhelníku je každý úhel:
720° ÷ 6=120°
Některé dobře známé polygony
Mezi známé polygony patří:
Vazníky
Střešní vazníky jsou často trojúhelníkové. V závislosti na šířce a sklonu střechy může vazník obsahovat rovnostranné nebo rovnoramenné trojúhelníky. Pro svou velkou pevnost se trojúhelníky používají při stavbě mostů a rámů jízdních kol. Jsou prominentní v Eiffelově věži.
Pentagon
Pentagon – ústředí ministerstva obrany USA – má svůj název podle svého tvaru. Budova je pětiboký pravidelný pětiúhelník.
Home Plate
Dalším dobře známým pětiúhelníkovým pravidelným pětiúhelníkem je domácí meta na baseballovém diamantu.
Falešný Pentagon
Obří nákupní centrum poblíž Šanghaje v Číně je postaveno ve tvaru pravidelného pětiúhelníku a někdy se mu říká Falešný pětiúhelník.
Sněhové vločky
Každá sněhová vločka začíná jako šestiúhelník, ale úroveň teploty a vlhkosti přidává větve a úponky, takže každá vypadá jinak.
Včely a vosy
Přirozené šestiúhelníky také zahrnují úly, kde každá buňka v pláství, kterou včely sestrojí, aby držela med, je šestiúhelníková. Hnízda papírových vos také obsahují šestihranné buňky, kde vychovávají svá mláďata.
The Giant's Causeway
Šestiúhelníky se také nacházejí v Giant's Causeway v severovýchodním Irsku. Je to přírodní skalní útvar složený z asi 40 000 do sebe zapadajících čedičových sloupů, které byly vytvořeny, když láva ze starověké sopečné erupce pomalu chladla.
Octagon
Octagon – jméno dané prstenu nebo kleci používané v zápasech Ultimate Fighting Championship (UFC) – pochází z jeho tvaru. Je to osmistranný pravidelný osmiúhelník.
Značky Stop
Stopka – jedna z nejznámějších dopravních značek – je další osmistranný pravidelný osmiúhelník. Přestože se barva, text nebo symboly na značce mohou lišit, osmiúhelníkový tvar pro značku stop se používá v mnoha zemích po celém světě.